számsor

Vizsgálat a levelező osztály

Kudryavtsev VA Demidovich BP Rövid során magasabb matematika. - 5th ed. sztereotípia. - M. Nauka, 1978. - 632s.

Munkát végez kell szigorúan ütemtervnek megfelelően. Minden hallgató végez munkát az ellenőrzési lehetőséget, melyek száma megegyezik a sorszám a csoport folyóiratban. Problémák megoldását meg kell adnia írásban külön lap (A4 méret, kötelező formában). Ahhoz, hogy a feladatot a lehető nyomtatott és írásban. Művészet KR A diák meg kell átírni a feltétele a feladat, írj részletes megoldást nyújtva a választ. Ahol szükség van, hogy egy rövid magyarázatot során a megoldás.

„Numerikus és funkcionális sorozat”

Numerikus sorozat. Elegendő bizonyíték a konvergencia

N összege az első szám sorozat tagjai jelöljük Sn és az úgynevezett N-edik részleges összege:

Sorozat nevezik konvergens. ha az n-edik részösszegként Sn növekszik végtelenségig n tart egy véges határérték, azaz if. A szám S hívják az összeget a sorozat. Ha az n-edik részösszegként a sorozat, amikor nem követtek egy véges határérték, akkor a sorozatot az úgynevezett divergens.

Száma. tagjaiból bármely csökkenő mértani sorozat konvergens és egy összeget.

Száma. az úgynevezett harmonikus. eltér.

Az előírt vizsgálati konvergencia. Ha a sorozat konvergál, akkor. azaz határérték alatt az összes konvergens tag nulla.

Így, ha. akkor a sorozat eltér.

Felsoroljuk a legfontosabb jele a konvergencia és divergencia sorozat pozitív értelemben.

Az első jele az összehasonlítás. Legyenek adott két sorban

ahol minden egyes tagja a sorozat (1) nem haladja meg a megfelelő tagok száma (2), azaz a . Akkor, ha a sorozat (2), a konvergencia a sorozat (1); Ha az áramlási sebesség tartományban (1), a variancia és a sorozat (2).

Ez a funkció érvényben marad, ha az egyenlőtlenség nem igaz minden n. de csak Kiindulva egy bizonyos számú n = N.

A második funkció összehasonlítást. Ha van egy véges nem nulla határértéket. A sorozat és konvergál vagy eltérnek egyszerre.

Root teszt. Ha ez a szám

ott. akkor a sorozat konvergál. eltér.

D'Alembert-féle teszt. Ha van egy szám. akkor a sorozat konvergál. eltér.

Cauchy integrál teszt. Ha f (x) - a folyamatos pozitív és monoton csökkenő függvény, akkor a sorozatban. amely konvergál vagy elágazik attól függően, hogy konvergens vagy divergens integrál.

Tekintsük most a sorozat, amelynek kifejezések váltakozó jelek, azaz sorozat formájában. hol.

A konvergencia váltakozó sorozat (jele Leibniz). Váltakozó sorozat konvergens, ha az abszolút értékei a tagjait monoton csökkenő, és az általános kifejezés nullához. Azaz, ha a következő két feltétel: 1) és 2).

Vegyük az n-edik részösszegként konvergens váltakozó sorozat, amelyre a jele Leibniz:

Legyen - n-edik fennmaradó sorozat. Ez lehet kifejezni, mint a különbség összege a sorozat S és az n-edik részösszegként Sn. azaz . Könnyen belátható, hogy

Az érték becslése szerint az egyenlőtlenség.

Nézzük néhány tulajdonságát a váltakozó sorozat (vagyis váltakozó sorokban véletlenszerű váltakozása jelei annak tagjai).

Váltakozó sorozat konvergens, ha a sorozat.

Ebben az esetben az eredeti sorozat nevezzük abszolút konvergens.

Konvergens sorozat nevezzük feltételesen konvergens. ha a sorozat eltér.

1. példa Annak vizsgálatára, a konvergencia

Határozat. Ez a szám tagokból a végtelen mértani, és ezért konvergál. Találunk összegezve. Itt van. (Progression nevező). ezért

2. példa Test sorozat konvergál.

Határozat. Ez a szám származik a harmonikus elöntve az első tíz tagja. Ezért eltér.

3. példa Annak vizsgálatára, a sorozat konvergál.

Határozat. Ettől. azaz . akkor a sorozatot elágazik (nem rendelkezik a szükséges konvergencia kritérium).

4. példa Annak vizsgálatára, a konvergencia a sorozat.

Határozat. A tagok a sorozat kisebb, mint a megfelelő feltételeket a sorozat. azaz sorozat. De az utolsó sorozat konvergál, mint egy végtelenül csökkenő mértani. Ezért a forrás sorozat konvergál.

5. példa Annak vizsgálatára, a sorozat konvergál.

Határozat. Összehasonlítható a szám a harmonikus sor, ami. . Ezért ez a sorozat eltér.

6. példa Annak vizsgálatára, a sorozat konvergál.

Határozat. Célszerű alkalmazni a gyökkritérium óta. és a határérték az utolsó frakció egyszerű:

Ettől. akkor a sorozat konvergál.

7. példa Annak vizsgálatára, a konvergencia a sorozat.

Határozat. Alkalmazza d'Alembert-féle vizsgálat; Van. . ; így

Ettől. akkor a sorozat eltér.

8. példa Annak vizsgálatára, a konvergencia

Határozat. Van. . . . - a sorozat konvergál.