Curves másodrendű

Tétel. Minden egyes görbe van egy derékszögű koordináta-rendszert, amelyben az egyik a következő (az úgynevezett kanonikus egyenletek):

Bizonyítás. Annak bizonyítására, az eredmény mutatja, hogyan általános (4) egyenlet görbe kanonikus formában.

Lemma. Alkalmasan, forgatás a koordinátatengelyek lehet elérni, hogy a 12 = 0 = 0>. Vonalkód jelenti egyenlet együtthatója az új koordináta rendszerben.

Bizonyítás (lemma). Ha egy 12 = 0 = 0>. elforgatás nem szükséges. Ellenkező esetben tekintsünk egy tetszőleges forgatás

F '(. X' y ') = f (x (x' .. Y ') Y (x' y ')) = = a 11 (cos ⁡ φ x' - sin ⁡ φ y „) 2 + 2 egy 12 (cos ⁡ φ x '- sin ⁡ φ y') (sin ⁡ φ x '+ cos ⁡ φ y') + 22 (sin ⁡ φ x '+ cos ⁡ φ y') 2 + 2 1 ( cos ⁡ φ x '- sin ⁡ φ y') + 2 2 (sin ⁡ φ x '+ cos ⁡ φ y') + a 0 F '(X', Y ') = F \ left (x (x' , y '), y (x', y ') \ right) = \\ = egy _ (\ cos \ varphi x' - \ sin \ varphi y ') ^ + 2a _ (\ cos \ varphi x' - \ sin \ varphi y ') (\ sin \ varphi x' + \ cos \ varphi y ') + egy _ (\ sin \ varphi x' + \ cos \ varphi y ') ^ + 2a _ (\ cos \ varphi x' - \ sin \ varphi y ') + 2a _ (\ sin \ varphi x' + \ cos \ varphi y „) + A_ \ end >>

Expanzió után zárójelben és redukáló hasonló kifejezések megtalálhatók együttható 2 x „y”. azaz az 12 „>:

Egy 12 „= - egy 11 cos ⁡ φ sin ⁡ φ + 12 (cos 2 ⁡ φ - sin 2 ⁡ φ) + 22 cos ⁡ φ sin ⁡ φ = (a 22 - a 11 sin ⁡ 2 φ 2 + egy 12 cos ⁡ 2 φ = -a_ \ cos \ varphi \ sin \ varphi + egy _ (\ cos ^ \ varphi - \ sin ^ \ varphi) + A_ \ cos \ varphi \ sin \ varphi = (A_-a> + A_ \ cos 2 \ varphi>

Visszatérünk az igazolást a tétel. Összhangban az utolsó Lemma bármely másodrendű egyenlet lehet csökkenteni, hogy az egyik a három esetben ott említett. Nézzük meg mindegyik

Invariánsai polinom másodfokú jogi

Ortogonális invariáns függvénye a polinom együtthatóit F. hogy közben nem változik az átmenet az egyik derékszögű koordinátarendszerben a másikba.

Ortogonális állandók a következő három funkciót:

Karakterisztikus polinom polinom χ = | [A 11 - λ a 12 a 12 a 22 - λ] | Egy _- \ lambda \ a \\ _ a_ \ egy _- \ lambda \ end> ​​\ right |>. Belátható, hogy a χ = λ 2 - S λ + δ -S \ lambda + \ Delta>.

Az igazolást a tétel a csökkentés a kanonikus bebizonyosodott, hogy minden egyenlet másodrendű vezethet a három típus egyikeként. Mert csak olyan ortogonális transzformáció invariáns megmarad. Invariáns egy táblázatot az értékek a különböző típusok: