A szög a síkok közötti

Munka típusa: 14
Tárgy: A szög a síkok közötti

A ABCDA_1B_1C_1D_1 rendszeres négyszögletes prizma oldalán az alap 4. Az oldalélek értéke 6. az M pont - CC_1 közepén borda, a szélén BB_1 jelölt N. ponton, hogy BN: NB_1 = 1: 2.

a) Mennyiben AMN sík osztja DD_1 szélén?

b) Mekkora a szög ABC és AMN repülőgépek.

a) AMN sík metszi egy él DD_1 K. ponton, ahol a negyedik csúcsa a keresztmetszete a prizma sík. Szakasz egy paralelogramma ANMK. mert a szemközti felületei a prizma párhuzamosak.

BN = \ frac13BB_1 = 2. Döntetlen KL \ párhuzamos CD, majd Háromszögmódszert ABN és a KLM egyenlő, akkor ML = BN = 2, LC = MC-ML = 3-2 = 1, KD = LC = 1. Ezután KD_1 = 6-1 = 5. Most már meg az arány a KD: KD_1 = 1: 5.

b) F - átkelőhely a vonalak CD és KM. Az ABC és AMN síkok metszik egy egyenes vonal AF. Szög \ szög KHD = \ alpha - lineáris diéderes szög (HD \ elkövető AF, akkor a tétel, az inverz tétel három merőlegesek, KH \ elkövető AF). Ez egy hegyesszög a derékszögű háromszög KHD. befogó KD = 1.

Háromszögek FKD és hasonló FMC (KD \ párhuzamos MC), így FD: FC = KD: MC, döntő hányada FD: (FD + 4) = 1: 3, megkapjuk FD = 2. A AFD derékszögű háromszög (\ D szög = 90 ^) lábakkal 2. és 4. Számítsuk ki a átfogója AF = \ sqrt = 2 \ sqrt 5, DH = AD \ cdot FD: AF = \ frac = \ frac4.

A derékszögű háromszög KHD megtalálják tg \ alpha = \ frac = \ frac4, így, a kívánt szöget \ alpha = arctg \ frac4.

Munka típusa: 14
Tárgy: A szög a síkok közötti

Mivel a megfelelő négyzet piramist oldalán KMNPQ MNPQ bázis. egyenlő 6, és a pereme 3 \ sqrt.

a) Construct szakasza a piramis egy áthaladó sík párhuzamos egyenes NF diagonális MP. ha a pont F - közepén borda MK.

b) Mekkora a szög a síkban és KMP.

a) Legyen KO - magassága a piramis, F - mid MK; FE \ párhuzamos MP (PKM síkban). Mivel FE - középső sor \ háromszög PKM, az FE = \ frac2.

Építünk a piramis részén áthaladó sík és párhuzamos NF MP. vagyis sík NFE. L - EF metszéspont és a KO. Mivel a pontok az L és N tartozik a kívánt keresztmetszetű síkban fekszenek KQN. T. kapjuk a metszéspontját LN és KQ. Ugyancsak a metszéspontja a kívánt keresztmetszetű és KQ bordák. NETF - a kívánt részt.

b) A síkjai NFE és MPK metszik egy egyenes vonal FE. Ennélfogva, a szög a síkok közötti lineáris diéderes sarokban OFEN. Építünk meg: LO \ elkövető MP, MP \ párhuzamos FE ezért LO \ elkövető FE; \ Triangle NFE - egyenlőszárú (NE = NF, mint a megfelelő medián KPN és KMN egyenlő háromszögek). NL - mediánja (EL = LF, mivel PO = OM, és \ háromszög KEF \ sim \ háromszög KPM). Ezért NL \ elkövető FE és \ angle NLO - kérik.

BE = \ frac12QN = \ frac12MN \ sqrt 2 = 3 \ sqrt 2.

\ Triangle KON - téglalap alakú.

Püthagorasz láb KO KO = \ sqrt.

OL = \ frac12KO = \ frac12 \ sqrt = \ frac12 \ sqrt = \ frac12 \ sqrt = \ frac32 \ sqrt = \ frac32 \ cdot 2 \ sqrt 6 = 3 \ sqrt 6.

Munka típusa: 14
Tárgy: A szög a síkok közötti

ABCDA_B_C_D_ bázis egyenes hasáb egy rombusz tompaszögben B. egyenlő 120 ^ \ circ. Minden prizma élei vannak 10. A P és K - közép CC_ és CD élek ill.

a) Igazoljuk, hogy PK és PB_ merőleges.

b) Mekkora a szög a repülőgépek és PKB_ C_B_B.

a) Az általunk használt módszer koordinátákat. Keresse skalár szorzata vektorok \ VEC és \ VEC>, majd a koszinusza közötti szög ezen vektorok. Küldj Oy tengely mentén CD. Oz tengely mentén CC_, és a tengely Ox \ elkövető CD. C - az origó.

Ezután a C (0, 0, 0); C_ (0; 0; 10); P (0, 0, 5); K (0, 5, 0); B (BC \ cos 30 ^ \ circ; BC \ sin 30 ^ \ circ; 0), azaz, a B (5 \ sqrt; 5; 0) B_ (5 \ sqrt; 5; 10).

Tegyük fel, hogy a bezárt szög \ vec és \ VEC> \ alpha.

\ Cos \ alpha = 0, akkor, \ VEC \ elkövető \ vec> és a közvetlen PK és PB_ merőleges.

b) a szög a síkok közötti egyenlő közötti szög nem nulla vektorok, merőleges ezekre síkok (vagy, ha egy tompaszög szomszédos egy sarkát). Ezeket a vektorokat nevezik síkjára merőleges. Megtaláljuk őket.

Let \ VEC> = \ PKB_ síkjára merőlegesen. Találunk rá, gondolkodás a rendszer \ begin \ vec> \ elkövető \ VEC \\ \ VEC> \ elkövető \ VEC>. \ end

Let \ VEC> = \ C_B_B síkjára merőlegesen. Találni, gondolkodás a rendszer \ begin \ vec> \ elkövető \ VEC> \\ \ VEC> \ elkövető \ VEC. \ end

\ Kezdjük 0x + 0y + 10Z = 0, 5 \\ \ sqrtx + 5Y + 0z = 0; \ end

Megtaláljuk a koszinusza a kívánt szögben \ beta (ez egyenlő a koszinusza közötti szög a modul \ VEC> és \ VEC>).