1. téma

Maximális és minimális értékek a funkciót. Egy algoritmust, hogy megtalálják a legnagyobb és a legkisebb érték folytonos függvény az intervallumon.

Kulcsfogalmak: a legnagyobb érték a legkisebb függvényérték, helyhez pont, a kritikus pont.

Azt mondják, hogy a funkciót. meghatározott intervallumon. eléri a legmagasabb (legalacsonyabb) értéket, ha van egy pont. ehhez tartozó intervallum, oly módon, hogy az összes egyenlőtlenség.

A folytonos függvény az intervallumon, akkor eléri a maximális és minimális értékek.

A legnagyobb érték és a legkisebb érték M m folytonos függvények lehet elérni mind a szegmensen belül, annak végeinél. Ha a legnagyobb (legkisebb) függvény értéke elér egy olyan pontot a belsejében a szegmensben, ez pont egy szélsőérték.

Egy algoritmust, hogy megtalálják a legnagyobb és a legkisebb érték folytonos függvény az intervallumon:

2. Keresse meg azt a pontot, amely vagy nem létezik, és vedd ki az is, hogy feküdjön a szegmensen belül;

3. értékeit számítjuk pontok a 2. lépésben kapott, és a végpontokon, és válaszd a legmagasabb és a legalacsonyabb; ezek rendre a legmagasabb és a legalacsonyabb érték a függvény az intervallumon. amely írható le, a következők szerint :. .

Amikor feladata, hogy megtalálják. Folyamatos a funkciót. ez megoldható ugyanaz a szabály, hogy a megfelelő probléma az intervallumot. A különbség: a harmadik fázis kiszámítása helyett függvény értékei a végpontok határok funkciót, amikor közeledik a végén a intervallumban.

Néha annak érdekében, hogy megtalálják a legnagyobb vagy legkisebb értékek folytonos függvény az intervallumon hasznos két kimutatásban:

1. ha a függvény az intervallumon X Csak egy pont a szélsőséges. Sőt, ez a csúcspontja, akkor - a legnagyobb értéke az intervallum X;

2. ha a függvény az intervallumon X Csak egy pont a szélsőséges. És ez a minimum pontot, majd - a legkisebb érték a függvény az intervallumon x.

1. példa Annak vizsgálatára, a függvény a legnagyobb és a legkisebb érték az X előre meghatározott időközönként.

Határozat. A tanulmány differenciálható függvény folytonos a szegmens, így

1. Keressünk a származékos :.

2. Mi található a stacionárius pontok (ahol a derivált nulla).

Pont - a pont egy lehetséges szélsőséges. Ugyanakkor. .

3. Keressük a függvény értékei a ponton és a végpontokon, és válassza közülük, a legnagyobb és a legkisebb érték. Ettől. . akkor. .

2. példa Keresse meg a legnagyobb érték a funkciót.

1. Keressünk a függvény deriváltját :.

2. Mi található a stacionárius pontok :. A lényeg - a származék nem létezik, azonban. Így egy adott halmaz van egy egyedülálló pont gyanús szélsőséges.

3. Hogy hozzanak létre egy táblázatot:

Látjuk, hogy - a legmagasabb pont a funkciót. Mivel - az egyetlen csúcspontja, akkor.

1) Annak vizsgálatára, a függvény a maximális és minimális értékeket ebben az intervallumban:

2) talál egy pontot függvény grafikonját. távolságok összege, amelyből az Y-tengelyen, és közvetlen a legalacsonyabb.

3) annak szükségességét, hogy kivágták a gránit talapzaton alakú, téglatest alakú, amelynek magassága egyenlő kell legyen, hogy az átlós a bázist, és a bázis terület - 4 négyzetméter , Amelyeknek az értékei a oldalán a bázis felületének a legkisebb talapzat.

4) Határozzuk meg a értékét úgy, hogy a négyzetének összege a gyökerek a trinomiális volt a legalacsonyabb.

5) összes értékeit egy rés. mindegyik amelybe a legnagyobb gyökere az egyenlet azon a legnagyobb értéket.

Test kérdésre 1:

1. Mit jelent az a legkisebb érték a függvény?.

2. Mit jelent az a legnagyobb értéke a függvény?

3. Milyen pontok az intervallum funkció lehet, hogy a legjobb ár-érték?

4. Mi a különbség algoritmus az optimális értékek intervalluma algoritmus az optimális függvény értékei időközönként?

Tárgy 2.Lokalny szélsőérték funkciók több változó. Maximális és minimális értékek a függvény egy korlátos zárt régióban. korlátozott optimalizálási

A koncepció a helyi szélsőérték egy sok változó függvénye. Szükséges és elégséges feltételei a helyi szélsőérték. A elégséges feltétele a helyi szélsőérték függvény két változó. A keresési algoritmus maximális és minimális értékei függvényében a ogranichennoyzamknutoy területen. Korlátozott optimalizálási. Lagrange multiplikátor módszerrel.

A fő feltételei: a helyi minimum, lokális maximum pontot, a kvadratikus alak a másodrendű differenciál, feltételes szélsőérték kényszer egyenletek, Lagrange-függvény.

1) Úgy véljük, a funkciót. halmazán megadott.

1. meghatározása pont hívott a pont a helyi szélsőérték. ha

A meghatározás azt jelenti, hogy a növekmény a funkció nem változik jel szomszédságában extrémuma ha. akkor maximális, ha - legalábbis.

1. Tétel (szükséges feltétele a helyi szélsőérték). Legyen a függvény lokális szélső pontot. Ha lenne ezen a ponton a részleges származékok, ezek nullával egyenlő.

2. meghatározása a pont, amelynél az összes elsőrendű parciális származékok nulla, az úgynevezett stacionárius.

3. meghatározása a pont, ahol az összes elsőrendű parciális deriváltak nulla, vagy legalább egy ilyen parciális deriváltak nem létezik az úgynevezett kritikus.

Megjegyzés 1. A függvény differenciálható egy stacionárius pontot, akkor a differenciális nullával egyenlő. Fordítottja is igaz: az eltűnő eltérés bizonyos ponton lehet stacionaritást ebben a kérdésben.

2. tétel Megjegyzés 1. feltétel nem elégséges. Tekintsük a funkciót. A pont rögzített ezt a funkciót, mivel ezen a ponton mind a parciális származékai az elsőrendű és nulla. Azonban ez nem lesz egy szélsőérték pont. Valóban ,. de minden szomszédságában a pont az a pont, ahol a függvény a pozitív értékek és a pont, ahol a függvény negatív értéket. Ez könnyen látható, ha össze egy függvény grafikonját - hiperbolikus paraboloid.

Tétel 2 (elégséges feltétele a helyi szélsőérték). Legyen a függvény u (x) kétszer differenciálható egy állandó ponton. Ha a második eltérés ezen a ponton van egy jel-határozott négyzetes forma a különbségek a független változók, a függvény azt egy szélsőséges: a legnagyobb, ha legalább, és ha.

Egy függvény két változó legkényelmesebb elégséges feltételei meghozta a következő változata ennek a tételnek:

Tétel 2 (elégséges feltétele a helyi szélsőérték funkciójának két változó). Let - kritikus pont egy pont szomszédságában funkció folyamatos parciális deriváltak legfeljebb másodrendű. jelent

1) ha. akkor a pont nem egy pont szélsőérték;

2) ha. majd pont a függvény minimális;

3) ha. majd pont a funkció maximum;

4) ha. akkor nem következtetést a kritikus pont nem lehet tenni, és további kutatásokra van szükség.

Példa. Keresse szélsőértékében a funkciót:

Határozat. 1) A függvény definiált mindenhol. Az elsőrendű parciális deriváltjai és mindenhol létezik. Megoldása az egyenletrendszert. Találunk két kritikus pontokat és.

Hogy tanulmányozza a kritikus pontok vonatkoznak 2. tétel Van

Ezért azon a ponton, a függvény minimális, azaz a.

Megvizsgáljuk a kritikus pont:

Következésképpen a második kritikus pont nem egy pont szélsőérték a funkciót.

2) A függvény definiált mindenhol. Az elsőrendű parciális deriváltjai és mindenhol létezik. Megoldása az egyenletrendszert. Találunk egy kritikus pont.

Annak vizsgálatára, a kritikus pont, próbálja meg alkalmazni 2. tétel Van

Létrehozása a jelenléte vagy hiánya a szélsőérték a ponton segítségével Tétel 2 nem sikerült.

Megvizsgáljuk a jele a növekmény funkció:

Ha. akkor; if. akkor. Mert nem őrzi meg a jel a környéken. akkor ezen a ponton a funkció nem szélsőséges.

2) kereső algoritmus a legnagyobb és a legkisebb érték a függvény ogranichennoyzamknutoy területen csökkenti a megoldás a három feladatot:

1. meghatározása stacionárius pont a régión belül.

2. meghatározása stacionárius pont a határ.

3. Válassza maximális és minimális értéke a függvény ezeken a pontokon.

Tekintsük a példa a feladat függvényében két változó. Tegyük fel, azt akarjuk, hogy megtalálják a maximális és minimális értékek a Z = f (x, y), meghatározott zárt régió a kerettel. sem.

2. Oldja meg az egyenletet. vagy.

3. Válassza ki a maximális és minimális értéke a függvény pontokat szerzett.

1. Rögzített pont (0, y). (Fuzzy szélsőérték).

3) Egy korlátozott optimalizálási. Tekintsük az

feltéve, hogy az érvelése nem független változó, és kapcsolja össze:

Ezek az arányok nevezik kommunikáció szempontjából. (A gazdaság működését és az úgynevezett cél, és a kényszer egyenletek - korlátozás). Hagyja, hogy a pontok koordinátáinak felelnek meg a egyenlet (2).

Definíció. Funkció (1) van azon a ponton, a relatív minimális (maximális) körülményei között a kommunikáció (2), ha létezik egy olyan környéken pontot. hogy bármely ponton () ezen a környéken, amelynek koordinátái kielégítik az egyenleteket (2), a következő egyenlőtlenség.

Más szóval, a feltételes maximum (minimum) - a legnagyobb (legkisebb) függvény értéke a pontot, ahonnan nincs kapcsolatban az összes pontot a környék pont. hanem csak azokra, a kik vannak összekötve kommunikációs feltételeket.

A probléma a feltételes szélsőséges jellemzők megoldható azáltal, hogy a változókat. Ez a módszer abból áll, hogy az egyenletek a változók kommunikációs feltételeket kifejezve a többi változó (ha lehetséges), helyettesítheti a változók találhatók a funkciót, és oldja meg a problémát, a szélsőérték funkció változók.

Példa. Kizárásával változók, hogy megtalálják a szélsőérték a függvény kommunikációs feltételeket

Határozat. A csatlakozás feltételeit megtalálja. Behelyettesítve a funkciót, akkor érkezik meg a függvények egy változó. . amelyhez úgy a problémát a feltétel nélküli szélsőérték. Mióta. A funkció egyetlen ponton lehetséges szélsőséges. Mert a lényeg a funkció a minimum. Mivel a kommunikációs feltételeket megtalálja a megfelelő értékeket. . Ez a függvény a pontosan meghatározott kommunikációs feltételek azon a ponton (-1,1,0), legalább, a

Lagrange módszer. A probléma a feltételes szélsőérték funkció (1) a (2) egyenértékű egy közönséges szélsőérték Lagrange

(- az úgynevezett Lagrange szorzók.

Szükséges feltételeket egy feltételes szélsőérték

kifejezve az egyenletrendszert:

viszonylag ismeretlen. Ha - oldatot (3), lehetséges szélsőérték pont funkció (1) a (2).

Elégséges feltételei korlátozott optimalizálási kapcsolatos tanulmány a jele a második különbségi a Lagrange

Értékeket minden rendszerben. kapott (3), azzal a megkötéssel, hogy kielégítik egyenletek

A funkció egy feltételes maximuma a lényeg. ha minden lehetséges értékeit. a következő feltételeknek megfelelő (4), és nem mind nulla, az egyenlőtlenséget (kvadratikus alak negatív határozott) és relatív minimális, ha ilyen körülmények között (az kvadratikus alak pozitív határozott), majd a függvény (1) relatív minimális, feltéve, kommunikáció (2) ha - váltakozó kvadratikus formában, majd a függvény (1) nem

1. példa Lagrange módszert találni extrémuma funkciót, ha a kommunikáció feltételek

Határozat. Alkotunk a Lagrange-

és megvizsgálja az egyenletrendszert

Ez egy egyedülálló megoldás, amely - az egyetlen pont a lehetséges szélsőséges egy függvény adott kommunikációs feltételeket. Kiszámítjuk a második eltérés Lagrange-függvény és helyettesítő és. talált az első kommunikációs egyenlet, megkapjuk a pozitív definit kvadratikus forma változó. Ebből az következik, hogy az adott körülmények között annak köszönhető, azon a ponton, a relatív minimális.

2. példa Az ellipszoid hogy megtalálja a pontot, amely a legtávolabb van a pont (0,0,3).

Határozat. A pontok közötti távolság és (0,0,3) által meghatározott követelések. Ezért az eredeti probléma egyenértékű a probléma feltételes maximum funkció biztosított linkeket. Alkotunk a Lagrange-

és megvizsgálja az egyenletrendszert:

Mivel a legtöbb ellipszoid hosszúkás egy tengely mentén. az abszcissza a kívánt pont nem lehet nulla, hogy van. Ezért az első egyenletből következik, hogy. Majd a második és a harmadik egyenlet a rendszer már az utolsó egyenlet ezért a rendszer, a függvény két pontot a lehetséges szélsőséges. A kényszer egyenletet kapunk. múlva már számítani a második Lagrange eltérés

Mi helyettesíti. pont koordinátáit és a kifejezés. negatív határozott négyzetes forma két változó között. . Ebből következik, hogy a funkció maximum feltételes pontot adott kommunikációs feltételek, azaz a ellipszoid van két pont legtávolabb pont (0,0,3).

Megjegyzés. Természetesen feltételes szélsőérték probléma, és megállapította, a legnagyobb és a legkisebb érték a zárt határolt területen szorosan összefügg.

Ezért a T-P1 - minimális .; t P2 -. max.

Megjegyzés. Ebben a feladatban a második eltérés mindig állandó jel négyzetes forma közötti kapcsolat különbségek tehát:

Nem használt elégséges feltétele a tanulmány. Mindazonáltal, abban az esetben a váltakozó második eltérés arányt kell figyelembe venni.

2) egy aláírt formában nem szélsőérték.

(Megjegyezzük, hogy nincs kapcsolatban a dy = 2xdx + dz kvadratikus alak az első esetben lesz váltakozó).

Tesztkérdések a témában 2:

1. Adja meg a koncepciót a helyi szélsőérték egy sok változó függvénye.

2. Határozza meg a szükséges feltételeket a helyi szélsőérték.

3. Határozza elégséges feltételei a helyi szélsőérték.

4. Melyek a főbb állomásai a keresést a legnagyobb és legkisebb értéket a függvény ogranichennoyzamknutoy területen.

5. Mit jelent a feltételes szélsőérték?